OBERON
MFC Üyesi
- Üyelik Tarihi
- 20 Kas 2016
- Konular
- 2,670
- Mesajlar
- 2,919
- MFC Puanı
- 1,410
A. TANIM
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A Ì B olmak üzere A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
İşlemler; gibi simgelerle gösterilir.
B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
A kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.
1. Kapalılık Özeliği
" (Her) a b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise A kümesi p işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme Özeliği
" (Her) a b Î A için a p b = b p a ise p işleminin değişme özeliği vardır.
3. Birleşme Özeliği
" (Her) a b c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise p işleminin birleşme özeliği vardır.
4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
" (Her) x Î A için x p e = e p x = x ise e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.
e Î A ise p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.
5. Ters Eleman Özeliği
p işleminin etkisiz elemanı e olsun.
a Î A için a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre tersleri A nın elemanı ise p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.
•Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
•Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.
6. Dağılma Özeliği
" a b c Î A için
a « (b p c) = (a « b) p (a « c) ise
« işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.
(a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise
« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.
« işleminin p işlemi üzerine; hem soldan hem de sağdan dağılma özelliği varsa « işleminin p işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
7. Yutan Eleman Özeliği
" x Î A için x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p işleminin yutan elemanı denir.
y Î A ise p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.
C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a b c d} kümesinde işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.
Ü b c nin sonucu bulunurken başlangıç sütununda b başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman b c nin sonucudur. Buna göre b c = a dır.
Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi işlemine göre kapalıdır.
Ü Sonuçlar kısmı köşegene göre simetrik ise işleminin değişme özeliği vardır.
Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile tanımlanan işleminin etkisiz elemanı d dir.
Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin sonuç kendisine eşit olur. Bunun için tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.
Yandaki tablo A = {1 2 3} kümesinde tanımlanan işlemine göre düzenlenmiştir.
Buna göre
işleminin yutan elemanı 1 dir.
işleminin birim (etkisiz) elemanı 2 dir.
D. MATEMATİK SİSTEMLER
1. Tanım
A boş olmayan bir küme olmak üzere « işlemi A da tanımlı olsun.
(A «) ikilisine matematik sistem denir.
2. Grup
A ¹ Æ olmak üzere A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa A kümesi « işlemine göre bir gruptur.
A « işlemine göre kapalıdır.
A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.
A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.
A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de varsa (A «) sistemi değişmeli gruptur.
3. Halka
A ¹ Æ olmak üzere A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A D «) sistemi bir halkadır.
(A D) sistemi değişmeli gruptur.
A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
« işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
Ü « işleminin değişme özelliği de varsa (A D «) sistemi değişmeli halkadır.
Ü « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A D «) sistemine birim halka denir.
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A Ì B olmak üzere A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
İşlemler; gibi simgelerle gösterilir.
B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
A kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.
1. Kapalılık Özeliği
" (Her) a b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise A kümesi p işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme Özeliği
" (Her) a b Î A için a p b = b p a ise p işleminin değişme özeliği vardır.
3. Birleşme Özeliği
" (Her) a b c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise p işleminin birleşme özeliği vardır.
4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
" (Her) x Î A için x p e = e p x = x ise e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.
e Î A ise p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.
5. Ters Eleman Özeliği
p işleminin etkisiz elemanı e olsun.
a Î A için a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre tersleri A nın elemanı ise p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.
•Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
•Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.
6. Dağılma Özeliği
" a b c Î A için
a « (b p c) = (a « b) p (a « c) ise
« işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.
(a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise
« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.
« işleminin p işlemi üzerine; hem soldan hem de sağdan dağılma özelliği varsa « işleminin p işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
7. Yutan Eleman Özeliği
" x Î A için x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p işleminin yutan elemanı denir.
y Î A ise p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.
C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a b c d} kümesinde işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.
Ü b c nin sonucu bulunurken başlangıç sütununda b başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman b c nin sonucudur. Buna göre b c = a dır.
Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi işlemine göre kapalıdır.
Ü Sonuçlar kısmı köşegene göre simetrik ise işleminin değişme özeliği vardır.
Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile tanımlanan işleminin etkisiz elemanı d dir.
Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin sonuç kendisine eşit olur. Bunun için tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.
Yandaki tablo A = {1 2 3} kümesinde tanımlanan işlemine göre düzenlenmiştir.
Buna göre
işleminin yutan elemanı 1 dir.
işleminin birim (etkisiz) elemanı 2 dir.
D. MATEMATİK SİSTEMLER
1. Tanım
A boş olmayan bir küme olmak üzere « işlemi A da tanımlı olsun.
(A «) ikilisine matematik sistem denir.
2. Grup
A ¹ Æ olmak üzere A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa A kümesi « işlemine göre bir gruptur.
A « işlemine göre kapalıdır.
A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.
A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.
A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de varsa (A «) sistemi değişmeli gruptur.
3. Halka
A ¹ Æ olmak üzere A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A D «) sistemi bir halkadır.
(A D) sistemi değişmeli gruptur.
A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
« işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
Ü « işleminin değişme özelliği de varsa (A D «) sistemi değişmeli halkadır.
Ü « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A D «) sistemine birim halka denir.