OBERON
MFC Üyesi
- Üyelik Tarihi
- 20 Kas 2016
- Konular
- 2,670
- Mesajlar
- 2,919
- MFC Puanı
- 1,410
A. BÖLME
A B C K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere
bölme işleminde
A ya bölünen B ye bölen C ye bölüm K ya kalan denir.
A = B × C + K dir.
Kalan bölenden küçüktür. (K < B)
Kalan bölümden (C den) küçük ise bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez.
K = 0 ise A sayısı B ile tam bölünebilir.
B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI
1. 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
2. 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
3. 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.
4. 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
5. 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için
olmak üzere
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... = 7k
olmalıdır.
Ü Birler basamağı a0 onlar basamağı a1 yüzler basamağı a2 ... olan sayının (...a5 a4 a3 a2 a1 a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... ...
işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.
Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan
(H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.
6. 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
3000 3432 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.
Ü Birler basamağı c onlar basamağı b yüzler basamağı a ... olan sayının (... abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
7. 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
8. 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.
9. 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k
ve olmalıdır.
Ü (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.
2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür.
3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür.
4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir.
C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ
A B C D E K1 K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre
A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.
A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.
D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir.
AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.
Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM
Bir A doğal sayısı B × C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir.
144 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünemez.
E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ
Bir tam sayının asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.
a b c birbirinden farklı asal sayılar ve m n k pozitif tam sayılar olmak üzere
A = ** . bn . ck olsun.
Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:
A yı tam bölen asal sayılar a b c dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı
(m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
A sayısının tam sayı bölenleri sayısı
2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı
A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı
– (a + b + c) dir.
A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı
A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:
A B C K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere
bölme işleminde
A ya bölünen B ye bölen C ye bölüm K ya kalan denir.
A = B × C + K dir.
Kalan bölenden küçüktür. (K < B)
Kalan bölümden (C den) küçük ise bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez.
K = 0 ise A sayısı B ile tam bölünebilir.
B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI
1. 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
2. 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
3. 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.
4. 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
5. 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için
olmak üzere
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... = 7k
olmalıdır.
Ü Birler basamağı a0 onlar basamağı a1 yüzler basamağı a2 ... olan sayının (...a5 a4 a3 a2 a1 a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... ...
işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.
Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan
(H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.
6. 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
3000 3432 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.
Ü Birler basamağı c onlar basamağı b yüzler basamağı a ... olan sayının (... abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
7. 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
8. 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.
9. 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k
ve olmalıdır.
Ü (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.
2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür.
3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür.
4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir.
C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ
A B C D E K1 K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre
A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.
A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.
D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir.
AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.
Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM
Bir A doğal sayısı B × C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir.
144 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünemez.
E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ
Bir tam sayının asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.
a b c birbirinden farklı asal sayılar ve m n k pozitif tam sayılar olmak üzere
A = ** . bn . ck olsun.
Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:
A yı tam bölen asal sayılar a b c dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı
(m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
A sayısının tam sayı bölenleri sayısı
2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı
A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı
– (a + b + c) dir.
A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı
A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: