• Web sitemizin içeriğine ve tüm hizmetlerimize erişim sağlamak için Web sitemize kayıt olmalı ya da giriş yapmalısınız. Web sitemize üye olmak tamamen ücretsizdir.
  • Sohbetokey.com ile canlı okey oynamaya ne dersin? Hem sohbet et, hem mobil okey oyna!
  • Soru mu? Sorun mu? ''Bir Sorum Var?'' sistemimiz aktiftir. Paylaşın beraber çözüm üretelim.

Fonksiyon ve Fonksiyon Çeşitleri

OBERON

MFC Üyesi
Üyelik Tarihi
20 Kas 2016
Konular
2,670
Mesajlar
2,919
MFC Puanı
1,410
A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
"x Î A ve y Î B olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a 1) (b 2) (c 3) (d 2)}
biçiminde de gösterilir.
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir.
Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.


B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A Ç B ¹ Æ olmak üzere
fonksiyonları tanımlansın.

(f + g) : A Ç B ® (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g) : A Ç B ® (f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f × g) : A Ç B ® (f × g)(x) = f(x) × g(x)
"x Î A Ç B için g(x) ¹ 0 olmak üzere



c Î olmak üzere
(c × f) : A ® (c × f)(x) = c × f(x) tir.


C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..
BBuna göre bire bir fonksiyonda
"x1 x2 Î A için x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle
"x1 x2 Î A için f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı


2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
Ü f : A ® B
f(A) = B ise f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü "x Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
ise f sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m s(B) = n olmak üzere
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(–x) = f(x) ise f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ® A
olmak üzere f fonksiyonu bire bir ve örten ise f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a b c} olmak üzere f : A ® A
f = {(a b) (b c) (c a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.


F. TERS FONKSİYON
f : A ® B f = {(x y)|x Î A y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere
f–1 : B ® A f–1 = {(y x)|(x y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
(x y) Î f ise (y x) Î f–1 olduğu için
y = f(x) ise x = f–1(y) dir.
Ayrıca (f–1)–1 = f dir.
(f–1)–1 = f dir. Ancak (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.

f fonksiyonu bire bir ve örten değilse f–1 fonksiyon değildir.

f : A ® B ise f–1 : B ® A olduğu için f nin tanım kümesi f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de f–1 in tanım kümesidir.

f(a) = b ise f–1(b) = a dır.
f–1(b) = a ise f(a) = b dir.



Ü y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

Ü olmak üzere

Ü olmak üzere


G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A ® B g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
Ü (gof)(x) = g[f(x)] tir.

Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda fog ¹ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

Ü Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
Ü I birim fonksiyon olmak üzere
foI = Iof = f ve
f–1of = fof–1 = I dır.
Ü f g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere
(fog)–1 = g–1of–1 ve
(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.
Ü (fog)(x) = h(x)
ise f(x) = (hog–1)(x) dir.
ise g(x) = (f–1oh)(x) tir.


• f–1 (x) = f(x) tir.
• (fof) (x) = x
• (fofof) (x) = f(x)
• (fofofof) (x) = x
...


H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B f = {(x y)|x Î A y Î B y = f(x)}
(a b) Î f
olduğundan
f(a) = b dir.
Ayrıca f–1(b) = a dır.

Ü

Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre
f(–3) = 3 f(–2) = 1 f(–1) = 2 f(0) = 2 f(1) = 1
f(2) = 0 f(3) = 2 f(4) = 1 f(5) = 0 dır.
 
Üst