Legendre diferansiyel denklemi [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.
Burada L, Legendre operatörüdür.
;
Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.
ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,
Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:
olur. Genellenirse
Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için
şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre Polinomları denir, dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
Burada L, Legendre operatörüdür.
Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.
ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,
Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:
olur. Genellenirse
Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için
şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre Polinomları denir, dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.