Uzay Kavramı ve Uzayda Doğrular (Geometri)
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik kavramı vardır. (Derinlikte denilebilir.) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3 ile sembolize edilir.
Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları belirtilmiştir.
1. Uzay Belirtme Aksiyomları
Dördü aynı düzlemde bulunmayan farklı dört nokta uzay belirtir.
E düzlemindeki A, B, C noktaları ile düzlem dışındaki P noktası, uzay belirtir.
Bir düzlem ile bu düzlemin dışındaki bir nokta, uzay belirtir.
E düzlemi ile bu düzlemin dışındaki P noktası uzay belirtir.
Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doğru uzay belirtir.
d doğrusu F düzleminde olmadığından, F düzlemi ile d doğrusu uzay belirtir.
Uzayda farklı iki düzlem ya paraleldir ya da kesişirler.
Paralel olmayan farklı iki düzlem daima kesişir.
Farklı iki düzlem daima uzay belirtir.
Kesişen iki düzlemin ortak noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir.
Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E n F = d dir.
2. Uzayda Doğruların Durumları
Uzayda iki doğru için üç durum söz konusudur.
İki doğru uzayda paralel olabilir.
İki doğru uzayda kesişebilir.
İki doğru uzayda aykırı olabilir.
E düzlemi üzerindeki d2 doğrusu ile E düzlemini kesen d1 doğrusunun ortak noktası yoktur.
d1 ve d2 doğruları paralel değil ve kesişmiyorlar ise bu doğrulara aykırı doğrular denir.
Aykırı doğrular düzlem belirtmez
Uzayda üç doğru paralel olabilir.
Uzayda paralel doğrulardan birine paralel olan bir doğru diğerlerine de paraleldir.
Uzayda paralel üç doğru aynı düzlemin elemanı olmak zorunda değildir.
Uzayda paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini kesmeyebilir.
d1 // d2 Þ d1 n d3 = {A}
d2 n d3 = Ø olur.
Paralel iki doğrunun ikisinide kesen bir doğru birini dik kesiyor ise diğerini de dik keser.
k1 // k2 Þ k1 ^ k3 ve k2 ^ k3 olur.
Uzayda üç doğru düzlemsel veya düzlemsel olmadan bir noktada kesişebilir.
Uzayda ikişer ikişer kesişen üç doğru bir düzlem belirtir.
Uzayda bir doğru kesişen iki doğrunun ikisinide kesmeyebilir.
Uzayda kesişen iki doğrunun kesişim kümesi bir noktadır.
Uzayda paralel ve aykırı doğruların kesişim kümesi boş kümedir.
3. Uzayda Düzlemlerin Durumları
Bir doğru paralel düzlemlerden birini keserse diğerlerini de keser.
Bir doğru paralel düzlemlerden birini dik keserse diğerlerini de dik keser.
Bir doğruya dik olan farklı düzlemler paraleldirler.
Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.
Bir düzleme, üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir.
Bir düzleme, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir.
Paralel düzlemler kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler.
Bir düzleme, dışındaki bir noktadan sonsuz tane paralel doğru çizilir. Bu doğrular bir düzlem oluştururlar.
... paralel düzlemlerinde
Bir düzlem paralel düzlemlerden birini keserse, diğerini de keser.
Bir düzlem paralel düzlemlerden birine dik ise diğerine de diktir.
Paralel düzlemleri kesen düzlemlerin arakesit doğruları paraleldir.
Bir düzlemin, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.
a // bÞ AB // CD
L düzlemi dışındaki M noktasından geçen ve L düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardır.
Bir düzlemin üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem olabilir.
Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem çizilebilir.
Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir.
a düzlemi dışındaki P noktasından geçen ve a düzlemine dik olan b ve g düzlemleri gibi çok sayıda düzlem olabilir.
a düzlemi üzerindeki K noktasından geçen ve a düzlemine dik olan sonsuz sayıda düzlem vardır.
a, b, g düzlemleri bir doğru boyunca kesişirse
a n b n g = d olur.
................ n tane düzlem uzayı en az n + 1 bölgeye ayırır.
Üç düzlem uzayı en az dört, en çok sekiz bölgeye ayırır.
Düzlemlerin uzayı en az bölgeye ayırdığı durum, paralel oldukları durumdur. Üç düzlemin uzayı sekiz bölgeye ayırdığı durumu görmek için bir elmayı üç bıçak darbesi ile nasıl sekize bölebileceğimizi düşünelim.
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik kavramı vardır. (Derinlikte denilebilir.) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3 ile sembolize edilir.
Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları belirtilmiştir.
1. Uzay Belirtme Aksiyomları
Dördü aynı düzlemde bulunmayan farklı dört nokta uzay belirtir.
E düzlemindeki A, B, C noktaları ile düzlem dışındaki P noktası, uzay belirtir.
Bir düzlem ile bu düzlemin dışındaki bir nokta, uzay belirtir.
E düzlemi ile bu düzlemin dışındaki P noktası uzay belirtir.
Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doğru uzay belirtir.
d doğrusu F düzleminde olmadığından, F düzlemi ile d doğrusu uzay belirtir.
Uzayda farklı iki düzlem ya paraleldir ya da kesişirler.
Paralel olmayan farklı iki düzlem daima kesişir.
Farklı iki düzlem daima uzay belirtir.
Kesişen iki düzlemin ortak noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir.
Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E n F = d dir.
2. Uzayda Doğruların Durumları
Uzayda iki doğru için üç durum söz konusudur.
İki doğru uzayda paralel olabilir.
İki doğru uzayda kesişebilir.
İki doğru uzayda aykırı olabilir.
E düzlemi üzerindeki d2 doğrusu ile E düzlemini kesen d1 doğrusunun ortak noktası yoktur.
d1 ve d2 doğruları paralel değil ve kesişmiyorlar ise bu doğrulara aykırı doğrular denir.
Aykırı doğrular düzlem belirtmez
Uzayda üç doğru paralel olabilir.
Uzayda paralel doğrulardan birine paralel olan bir doğru diğerlerine de paraleldir.
Uzayda paralel üç doğru aynı düzlemin elemanı olmak zorunda değildir.
Uzayda paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini kesmeyebilir.
d1 // d2 Þ d1 n d3 = {A}
d2 n d3 = Ø olur.
Paralel iki doğrunun ikisinide kesen bir doğru birini dik kesiyor ise diğerini de dik keser.
k1 // k2 Þ k1 ^ k3 ve k2 ^ k3 olur.
Uzayda üç doğru düzlemsel veya düzlemsel olmadan bir noktada kesişebilir.
Uzayda ikişer ikişer kesişen üç doğru bir düzlem belirtir.
Uzayda bir doğru kesişen iki doğrunun ikisinide kesmeyebilir.
Uzayda kesişen iki doğrunun kesişim kümesi bir noktadır.
Uzayda paralel ve aykırı doğruların kesişim kümesi boş kümedir.
3. Uzayda Düzlemlerin Durumları
Bir doğru paralel düzlemlerden birini keserse diğerlerini de keser.
Bir doğru paralel düzlemlerden birini dik keserse diğerlerini de dik keser.
Bir doğruya dik olan farklı düzlemler paraleldirler.
Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.
Bir düzleme, üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir.
Bir düzleme, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir.
Paralel düzlemler kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler.
Bir düzleme, dışındaki bir noktadan sonsuz tane paralel doğru çizilir. Bu doğrular bir düzlem oluştururlar.
... paralel düzlemlerinde
Bir düzlem paralel düzlemlerden birini keserse, diğerini de keser.
Bir düzlem paralel düzlemlerden birine dik ise diğerine de diktir.
Paralel düzlemleri kesen düzlemlerin arakesit doğruları paraleldir.
Bir düzlemin, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.
a // bÞ AB // CD
L düzlemi dışındaki M noktasından geçen ve L düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardır.
Bir düzlemin üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem olabilir.
Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem çizilebilir.
Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir.
a düzlemi dışındaki P noktasından geçen ve a düzlemine dik olan b ve g düzlemleri gibi çok sayıda düzlem olabilir.
a düzlemi üzerindeki K noktasından geçen ve a düzlemine dik olan sonsuz sayıda düzlem vardır.
a, b, g düzlemleri bir doğru boyunca kesişirse
a n b n g = d olur.
................ n tane düzlem uzayı en az n + 1 bölgeye ayırır.
Üç düzlem uzayı en az dört, en çok sekiz bölgeye ayırır.
Düzlemlerin uzayı en az bölgeye ayırdığı durum, paralel oldukları durumdur. Üç düzlemin uzayı sekiz bölgeye ayırdığı durumu görmek için bir elmayı üç bıçak darbesi ile nasıl sekize bölebileceğimizi düşünelim.